ようへい

2017年9月12日火曜日

平成27年 秋期 応用情報技術者 午前 問2

集合 $A$ 、$B$ 、$C$ に対して $\overline{A \cup B \cup C}$ が空集合であるとき、包含関係として適切なものはどれか。 ここで、$\cup$ は和集合を、$\cap$ は積集合を、$\overline{X}$ は $X$ の補集合を、また、$X \subseteqq Y$ は $X$ が $Y$ の部分集合であることを表す。
  1. $(A \cap B) \subseteqq C$
  2. $(A \cap \overline{B}) \subseteqq C$
  3. $(\overline{A} \cap B) \subseteqq C$
  4. $(\overline{A} \cap \overline{B}) \subseteqq C$
解法
$\overline{A \cup B \cup C}$ が空集合になるということなので、すべての要素は、$A$、$B$、$C$ のどれかに含まれるということになる。
また、選択肢が共通して $hoge \subseteqq C$ となっているので、$hoge$ が $C$ の部分集合であり、$hoge$ が $C$ に完全に含まれている必要がある。

ア の $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分となるため、$C$ には完全に含まれないので成り立たない。
イ の $A \cap \overline{B}$ は $A$ から $B$ を除いた部分となるため、$C$ には完全に含まれないので成り立たない。
ウ の $\overline{A} \cap B$ は $B$ から $A$ を除いた部分となるため、$C$ には完全に含まれないので成り立たない。
エ の $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $A$ でも $B$ でもない部分となるため、$C$ に完全に含まれる。
よって正解は
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